3. 矩阵的乘法

设有两个线性变换:
$$
\begin{cases}y_1 = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 \\ y_2 = a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3\end{cases}
$$

$$
\begin{cases}x_1 = b_{11}t_1 + b_{12}t_2 \\ x_2 = b_{21}t_1 + b_{22}t_2 \\ x_3 = b_{31}t_1 + b_{32}t_2 \end{cases}
$$
现在相求从 $t_1$、$t_2$ 到 $y_1$、$y_2$ 的线性变换,可将第二个式子带入第一个式子,求得:
$$
\begin{cases}y_1 = (a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31})t_1 + (a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32})t_2 \\ y_2 = (a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31})t_1 + (a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32})t_2 \end{cases}
$$
提出线性方程组的系数,可以得到一个系数矩阵的关系:
$$
\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32} \end{bmatrix}
$$
上面这种关系就是矩阵乘法的定义。

设 $\boldsymbol{A} = (a_{ij})$ 是一个 $m \times s$ 矩阵, $\boldsymbol{B} = (b_{ij})$ 是一个 $s \times n$ 的矩阵,那么规定矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的乘积是一个 $m \times n$ 的矩阵 $\boldsymbol{C} = (c_{ij})$ ,其中:
$$
c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{is}b_{sj} = \sum_{k = 1}^s {a_{ik}b_{kj}} \\ (i = 1,2,\cdots,m; j = 1,2,\cdots,n)
$$
并把此乘积记作:
$$
\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}
$$
由矩阵乘积的定义可知:

  • $\boldsymbol{A}$ 的列数必须等于 $\boldsymbol{B}$ 的行数,$\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B} $ 才能相乘。
  • 乘积 $\boldsymbol{C} $ 的行数等于 $\boldsymbol{A}$ 的行数,$\boldsymbol{C}$ 的列数等于 $\boldsymbol{B} $ 的列数。
  • 乘积 $\boldsymbol{C}$ 中第 $i$ 行第 $j$ 列元 $c_{ij}$ 等于 $\boldsymbol{A}$ 的第 $i$ 行元与 $\boldsymbol{B} $ 的第 $j$ 列元对应乘积之和。

4. 基变换与坐标变换

线性代数中的空间向量文章中我们已经简单的介绍了基向量的概念。在线性空间 $\boldsymbol{V}$ 中,如果有 $n$ 个向量 $\boldsymbol{\varepsilon_1}$,$\boldsymbol{\varepsilon_2}$,...,$\boldsymbol{\varepsilon_n}$ 线性无关,而 $\boldsymbol{V}$ 中任意 $n+1$ 个向量线性相关,则称 $\boldsymbol{\varepsilon_1}$,$\boldsymbol{\varepsilon_2}$,...,$\boldsymbol{\varepsilon_n}$ 为 $\boldsymbol{V}$ 的一组,$n$ 称为线性空间 $\boldsymbol{V}$ 的维数。维数为 $n$ 的线性空间称为 $n$ 维线性空间。

理解基的定义之后,我们就会出现这样的一种疑问:“如果 $n$ 维线性空间中任意 $n$ 个线性无关的向量都可以作为 $\boldsymbol{V}$ 的一组基,那么不同的基之间有什么联系呢?”

不同的基相当于不同的语言体系,即使它们表达的是同一种意思,但是在不同的语言体系下所得到的结果完全不同:

matrix_0

向量同样如此,不同基下面,即使描述同一个向量,(在同一个基下面)最终表现的样式也是不同的。

假设 $\boldsymbol{\varepsilon_1}$,$\boldsymbol{\varepsilon_2}$,...,$\boldsymbol{\varepsilon_n}$ 是 $\boldsymbol{V}$ 的一组基, $\boldsymbol{\varepsilon'_1}$,$\boldsymbol{\varepsilon'_2}$,...,$\boldsymbol{\varepsilon'_n}$ 为另一组基,我们可以用一组基来表达另一组基:

$$
\begin{cases}
a_{11}\varepsilon_1 + a_{12}\varepsilon_2 + \cdots + a_{1n}\varepsilon_n = \varepsilon^\prime_1, \\
a_{21}\varepsilon_1 + a_{22}\varepsilon_2 + \cdots + a_{2n}\varepsilon_n = \varepsilon^\prime_2, \\
…………………………… \\
a_{n1}\varepsilon_1 + a_{n2}\varepsilon_2 + \cdots + a_{nn}\varepsilon_n = \varepsilon'_n,
\end{cases}
$$

记两组基可以通过系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 相关联, 其中矩阵 $\boldsymbol{A}$ 为:
$$
A =\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}
$$
利用矩阵乘法,则:
$$
(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n) \boldsymbol{A} = (\varepsilon'_1,\varepsilon'_2,\cdots,\varepsilon'_n)
$$

这两种基之间的关系称为基变换式。其中矩阵 $\boldsymbol{A}$ 被称为过渡矩阵,它可以将一个 $n$ 维线性空间中的一组基转换为另一组基。

我们假设存在一个向量 $\boldsymbol{\alpha}$ ,该向量在基 $\boldsymbol{\varepsilon_1}$,$\boldsymbol{\varepsilon_2}$,...,$\boldsymbol{\varepsilon_n}$ 与基 $\boldsymbol{\varepsilon'_1}$,$\boldsymbol{\varepsilon'_2}$,...,$\boldsymbol{\varepsilon'_n}$ 下的坐标分别为 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$与$(a'_1,a'_2,\cdots,a'_n)$,从基 $\boldsymbol{\varepsilon_1}$,$\boldsymbol{\varepsilon_2}$,...,$\boldsymbol{\varepsilon_n}$ 到基 $\boldsymbol{\varepsilon'_1}$,$\boldsymbol{\varepsilon'_2}$,...,$\boldsymbol{\varepsilon'_n}$ 的过渡矩阵是 $\boldsymbol{A}$ ,则有下面的坐标转换公式:
$$
\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix} = \boldsymbol{A} \begin{bmatrix} a'_1 \\ a'_2 \\ \vdots \\ a'_n \end{bmatrix}
$$
如果将上面公式的两边同时乘以单位矩阵 $\boldsymbol{I}$ ,则得:
$$
\boldsymbol{I} \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix} = \boldsymbol{A} \begin{bmatrix} a'_1 \\ a'_2 \\ \vdots \\ a'_n \end{bmatrix}
$$
其中 $\boldsymbol{I}$ 和 $\boldsymbol{A}$ 可以看作是两组不同的基向量,而点 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 和 $(a'_1,a'_2,\cdots,a'_n)$ 可以看作是同一个向量在不同基向量下的不同表示形式。