5. 矩阵的行列式

设 $\boldsymbol{A}$ 为一个 $n$ 阶矩阵,则 $\boldsymbol{A}$ 的行列式:
$$
det\boldsymbol{A} = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}
$$
是由 $\boldsymbol{A}$ 确定的一个数:

(1) 当 $n = 1$ 时
$$
det\boldsymbol{A} = det(a_{11}) = a_{11}
$$
(2)当 $n \ge 2$ 时
$$
det\boldsymbol{A} = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + \cdots + a_{1n}A_{1n} = \sum_{j=1}^n a_{1j}A_{1j}
$$
其中称 $M_{1j}$ 为元 $a_{1j}$ 的余子式,即为划掉 $\boldsymbol{A}$ 的第 1 行第 $j$ 列后所得的 $n-1$ 阶行列式:
$$
M_{1j} = \begin{vmatrix}a_{21} & \cdots & a_{2,j-1} & a_{2,j+1} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & \cdots & a_{3,j-1} & a_{3,j+1} & \cdots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}
$$
称 $A_{1j}$ 为 $a_{1j}$ 的代数余子式
$$
A_{1j} = (-1)^{1+j}M_{1j}
$$
为了防止混淆,一般用 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix}$ 表示矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行列式。

行列式和矩阵不同,其最终的运算结果是一个数,且行列式的行数总是等于列数,类似于方阵的定义格式。两个行列式相等的定义也和矩阵不同,矩阵的相等必须确保阶数和每个元都相等,但是行列式的相等仅代表最终的计算结果相等,并不代表行列式的每个元都相等,甚至两个相等的行列式的阶数都有可能不同。同样的矩阵的线性运算和行列式也不同,本质上行列式的运算其实就是两个数的运算,而矩阵的运算却是矩阵的每个元都做运算。

行列式也有自己的几何意义。在前面我们介绍过矩阵的一种几何意义是代表当前坐标系中的基向量,例如存在一个二阶方阵 $\boldsymbol{A}$:
$$
\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix}
$$
其中每一列代表一个基向量,即该矩阵可以表示由基向量 $\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix}b \\ d \end{bmatrix}$ 所组成的坐标系。而行列式的几何意义就代表了这两个基向量围起来的四边形面积。

matrix_1

其中行列式的符号表示从标准的正交基坐标系,变换为现在的坐标系后向量 $i$ 和 $j$ 的方向。如果 $i$ 向量到 $j$ 向量的方向仍为逆时针,则行列式的结果为正。否则如果 $i$ 到 $j$ 的结果为负,行列式的结果则为负数。与之类似,三阶行列式代表基向量围起来的体积,而正负则是由标准基向量 $i$、$j$、$k$ 最终的方向确定的。

如果行列式的结果为 0,则代表对应的 $n$ 维空间存在降为的问题,简单的说就是本来三维的东西,突然变为二维或者一维了,也就代表行列式所代表的这组基向量是线性相关的,不过话又说回来,基向量的定义是一组线性不相关的向量,所以前面的那组向量不应该叫做基向量……,仅仅是一组向量而已。

6. 特征值和特征向量

设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶方阵,如果存在数 $\lambda$ 和 $n$ 维非零向量 $\boldsymbol{a}$ 使得:
$$
\boldsymbol{A}\boldsymbol{a} = \lambda \boldsymbol{a}
$$
则称 $\lambda$ 为方阵 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值, $\boldsymbol{a}$ 为方阵 $\boldsymbol{A}$ 对应于特征值 $\lambda$ 的一个特征向量

从几何上看,就是对一个向量做线性变换,变换矩阵为 $\boldsymbol{A}$,变换的向量为 $\boldsymbol{a}$ ,最后变换的结果其实就是向量 $\boldsymbol{a}$ 的一次数乘,相当于向量 $\boldsymbol{a}$ 做了一次伸缩。换句话说,特征向量在线性变换之后不会改变原有方向,只会改变原来的大小,具体的倍数由 $\lambda$ 的值决定。