1. 什么是矩阵?

前面的文章已经介绍了向量相关的概念,通过学习我们可以知道一个 n 元线性方程:
$$
a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n = b
$$
可以表示为方程系数组成的向量 $\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}$ 与方程参数组成的向量 $\boldsymbol{X} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$ 的内积,即:
$$
\boldsymbol{A} \bullet \boldsymbol{X} = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \dots & a_n \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = b
$$
在解析几何中,向量 $\boldsymbol{A}$ 和向量 $\boldsymbol{X}$ 相互垂直,而 $b$ 的值可以看作向量 $A$ 的模 和向量 $X$ 在向量 $A$ 方向上的投影之积。当然,依照对称性,你也可以将其描述为向量 $X$ 的模和向量 $A$ 在向量 $X$ 方向上的投影之积。

这里仅仅一个方程,假设当有一个 n 元方程组的时候:

$$
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1, \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2, \\
…………………………… \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m, \\
\end{cases}
$$

我们可以将其中的系数提出来,组成一个由 $m \times n$ 个数排成的 $m$ 行 $n$ 列的数表:

$$
\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix}
$$

这个数表被称为一个 $m$ 行 $n$ 列的矩阵,简称 $m \times n$ 矩阵。其中 $a_{ij}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列处的元,$i$ 称为 $a_{ij}$ 的行指标,$j$ 称为 $a_{ij}$ 的列指标。我们通常用大写黑体字母表示矩阵,如矩阵 $\boldsymbol{A}$ ,矩阵 $\boldsymbol{B}$ 等等。

上面通过方程组系数组成的矩阵被称为方程组的系数矩阵,而系数即常数项可以组成另一个 $m$ 行 $n+1$ 列的矩阵:
$$
\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \\ \end{bmatrix}
$$
被称为方程组的增广矩阵。而上面的方程组可以描述为:
$$
\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}
$$
如果矩阵的每个元都为 0,则该矩阵为零矩阵。记作 $O_{m \times n}$ 或 $O$。当 $m = n$ 时,则称 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵(方阵)。如果方阵 $\boldsymbol{A}$ 的元 $a_{ij} = 0 (i \neq j)$ ,则称 $\boldsymbol{A}$ 为 对角矩阵。若对角矩阵中的对角元全为 1,则称该对角矩阵为 单位矩阵,$n$ 阶单位矩阵记作 $\boldsymbol{I}_n$。

通过上面的介绍,我们知道一个矩阵可以代表一个线性方程组,而以后我们完全可以借助矩阵这一工具来研究线性方程组的相关特性。

2. 矩阵的线性运算

矩阵的加法定义如下:

设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与矩阵 $\boldsymbol{B}$ 是两个 $m \times n$ 的矩阵,其中:
$$
\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix}\boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\ \end{bmatrix}
$$
将它们的对应元相加,得到一个新的 $m \times n$ 的矩阵 $\boldsymbol{C}$ :
$$
\boldsymbol{C} =\begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{21} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \\ \end{bmatrix}
$$
则称矩阵 $\boldsymbol{C}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的和,记作 $\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}$。需要注意矩阵的加法只能是同型的矩阵才能相加,且矩阵之和仍为同型矩阵。

矩阵的数乘定义如下:

设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是一个 $m \times n$ 的矩阵,$k$ 是一个数,则称矩阵:
$$
\begin{bmatrix} ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & \cdots & ka_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \cdots & ka_{mn} \\ \end{bmatrix}
$$
为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与数 $k$ 的乘积,记作 $k\boldsymbol{A}$ 。也就是说数 $k$ 乘矩阵 $\boldsymbol{A}$ 就是将矩阵 $\boldsymbol{A}$ 中的每个元都乘以 $k$。

矩阵的加法与数乘统称为矩阵的 线性运算。并且矩阵的线性运算满足下列八条性质:

  • $\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B} = \boldsymbol{B} + \boldsymbol{A} $
  • $(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}) + \boldsymbol{C} = \boldsymbol{A} + (\boldsymbol{B} + \boldsymbol{C})$
  • $\boldsymbol{A} + \boldsymbol{O} = \boldsymbol{A}$
  • $\boldsymbol{A} + (-\boldsymbol{A}) = \boldsymbol{O}$
  • $1\boldsymbol{A} = \boldsymbol{A}$
  • $k(l \boldsymbol{A}) = (kl) \boldsymbol{A}$
  • $k(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) = k\boldsymbol{A} + k\boldsymbol{B}$
  • $(k + l) \boldsymbol{A} = k \boldsymbol{A} + l \boldsymbol{A}$