4. 向量的内积

设有 $n$ 维向量:
$$
\boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}, \boldsymbol{y} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix}
$$

$$
[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}] = x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n
$$
$[\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}]$ 被称为向量 $\boldsymbol{x}$ 与 $\boldsymbol{y}$ 的内积(点积)

内积是两个向量之间的一种运算,其结果是一个实数,用矩阵记号表示,当 $\boldsymbol{x}$ 与 $\boldsymbol{y}$ 都是列向量时,有:
$$
[\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}] = \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{y}
$$
内积具有一下性质:

  • $[\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}] = [\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}]$
  • $[\lambda\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y}]=\lambda[\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}]$
  • $[\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}] = [\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}] + [\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}]$
  • 当 $\boldsymbol{x} = 0$ 时,$[\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}] = 0$ ;当 $\boldsymbol{x} \neq 0$ 时,$[\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}] > 0$。

根据上面的定义,我们可以定义向量的长度。

令向量 $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{y}$,则:
$$
\begin{Vmatrix} \boldsymbol{x} \end{Vmatrix} = \sqrt{[\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}]} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}
$$
其中 $ \left | \left | x \right | \right |$ 称为 $n$ 维向量 $\boldsymbol{x}$ 的长度(或范数)。

这个长度在解析几何中可以看作是勾股定理的一种变化:

三角形勾股定理

如果向量 $\boldsymbol{x}$ 与 $\boldsymbol{y}$ 的内积为零,即:
$$
[\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}] = 0
$$
则称 $\boldsymbol{x}$ 与 $\boldsymbol{y}$ 正交。正交向量组是线性无关的

在解析几何中,内积的定义如下:
$$
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \left| \boldsymbol{a} \right| \left| \boldsymbol{b} \right| cos \theta
$$
具体可以描述为一个向量的长度与另一个向量在该向量方向上的投影的积。如下图所示:

方向投影

因为向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 都是非负数,所以它们的内积的符号完全由二者的夹角决定。当两个向量的夹角为锐角时,二者的点积为正;否则当两个向量的夹角为钝角时,二者的点积为负。

余弦波形

这个知识点经常被用来区分两个向量是否为同向。例如游戏中物体是否沿着相同的方向移动,或者物体受力是否相反等等。

5. 向量的外积

向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 的外积是一个向量,记作 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ ,其模与方向确定如下:

  • $\left| \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} \right| = \left|\left| \boldsymbol{a} \right|\right| \left|\left| \boldsymbol{b} \right|\right| sin \left \langle \boldsymbol{a},\boldsymbol{b} \right \rangle $
  • $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{a}$ ,$\boldsymbol{b}$ 都垂直,且 $\boldsymbol{a}$ ,$\boldsymbol{b}$ ,$\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ 符合右手法则。

右手法则

由于向量的外积是一个向量,且外积的符号用 “$\times$” 表示,所以外积又称为向量积叉乘积

外积具有下面的性质:

  • $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{a} = \boldsymbol{0}$
  • $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0}$
  • $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = - \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a}$
  • $(\lambda \boldsymbol{a}) \times (\mu \boldsymbol{b}) = \lambda \mu (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})(\lambda,\mu \in R)$
  • $\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}) = (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) + (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{c})$

在解析几何中,向量 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ 的模 是以 $ \boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 为邻边的平行四边形的面积。如下图所示:

四边形面积

这个知识点经常用于计算平面的法向量,特别适用于 3D 游戏中的纹理贴图、光照计算等内容。